Ковариантность и контравариантность

Ковариантность и контравариантность [от латинского co (cum) - совместно, сообща, contra - напротив, наоборот и vario - изменяюсь], понятия, играющие важную роль в линейной алгебре и тензорном исчислении. Пусть две системы n переменных x₁, x₂,..., x_n и y₁, y₂,..., y_n (чисел или векторов) подвергаются линейным однородным преобразованиям так, что каждому преобразованию х₁, x₂,..., x_n отвечает определённое преобразование y₁, y₂,..., y_n. Если преобразованию

?(1)

переменных x_i соответствует преобразование


переменных y_i, то системы x_i и y_i называют ковариантными (одинаково преобразующимися), или когредиентными. Если преобразованию x_i, определённому формулой (1), соответствует преобразование переменных y_i, задаваемое формулой

то системы x_i и y_i называют контравариантными (противоположно преобразующимися), или контрагредиентными.
Обобщением этих понятий являются понятия ковариантных и контравариантных тензоров (см. Тензорное исчисление).