Рауса-Гурвица проблема
Рауса - Гурвица проблема, проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения a0zn + a1zn-1 + ... + an-1z + an = 0,
имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a0, a1,..., an справедлива формула ???? (1)
где V - число знакоперемен в ряде чисел a0, D1, , ..., а Dl (l = 1, 2, ..., n - определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из Dl равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. - Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину a0(iw) n + a1(iw) n-1... + an,
при изменении w от 0 до + ¥ описывает кривую. Если при этом полярный угол q точки кривой получает приращение Dq = n , то k = (n - n)/2.????? (2)
Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует n = n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).
В приложениях встречаются обобщения Р. - Г. п. на случай комплексных коэффициентов a0, a1, ..., an и на случай трансцендентных уравнений.