Векторное исчисление

Векторное исчисление, математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (например, сила, ускорение, скорость).

Возникновение и развитие В. и. Возникновение В. и. тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Лишь в середине 19 в. усилиями ряда учёных было создано В. и., в котором операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания. Основы В. и. были заложены исследованиями английского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грасмана по гиперкомплексным числам (1844-50). Их идеи были использованы английским физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Современный вид В. и. придал американский физик Дж. Гиббс. Значительный вклад в развитие В. и. внесли русские учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа (см. Остроградского формула). Исследования казанского математика А. П. Котельникова по развитию винтового исчисления имели важное значение для механики и геометрии. Эти исследования были продолжены советскими математиками Д. Н. Зейлигером и П. А. Широковым. Большое влияние на развитие В. и. имела книга "Векторный анализ", написанная в 1907 русским математиком П. О. Сомовым.

Векторная алгебра. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора aобозначается |a|. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображенные на рис. 1 векторы а и bколлинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.

В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой а+ b векторов а и b называют вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 2). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3), источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4. Произведением aавектора а на число a называется вектор, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную lal^. lal, и направление, совпадающее с направлением а при a > 0 и противоположное а при a < 0. Вектор -1 - а называется противоположным вектору аи обозначается -а. Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают следующими свойствами:
1) а+ b = b + a,
2) (a+ b) + c = a + (b+ c),
3) а+ 0 = а,
4) a+(-a)= 0,
5) 1 - a = a,
6) a(ba) = (ab) a,
7) a(a+ b) = aа+ ab,
8) (a + b) a = aa+ ba.
В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a₁, a₂,..., a_n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа a₁, a₂,..., a_n из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация (a₁a₁+...+ a_na_n)этих векторов равна нулю. Векторы a₁, a₂,..., a_n, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Отметим, что любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми.
Векторы евклидова пространства обладают следующим свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трехмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует, так называемое, векторное пространство. Линейно независимые векторы e₂, e₂, e₃, образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а= Xe₂ + Ye₂ + Ze₃; коэффициенты X, Y, Z называются координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z,то это записывают так: а = íX, Y, Zý. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины которых равны единице и которые обычно обозначают так: i, j, k, образуют, так называемый ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Координаты X, Y, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов а и b равны соответственно íX₁, Y₁, Z₁ýи íX₂, Y₂, Z₂ý, то координаты суммы а+ b этих векторов равны íX₁ + X₂, Y₁ + Y₂, Z₁ + Z₂ý, координаты вектора la равны ílX₁ + lY₁ + lZ₁ý.
Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, например, при рассмотрении работы силы F на заданном пути S: работа равна |F||S|cosj, где j - угол между векторами F и S. Математически скалярное произведение векторов а и b определяется как число, обозначаемое (а, b) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (a, b) = |a||b|cosj.
Величина |b|cosj называется проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а, и обозначается пр_ab. Поэтому (a, b) = |a|пр_ab. В частности, если a - единичный вектор (|a| = 1), то (а, b) = пр_ab. Очевидны следующие свойства скалярного произведения: (а, b) = (b, а), (lа, b) = l(а, b), (а+ b, с) = (а, с) + (b, с), (a, а) ³ 0,
причём равенство нулю имеет место лишь при a = 0. Если в ортонормированном базисе i, j, k векторы а и b имеют соответственно координаты íX₁, Y₁, Z₁ý и íХ₂, Y₂, Z₂ý, то? (a, b) = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z_2,  
Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с(а- первый вектор, b - второй, с - третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, называется правой (левой), если они располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа - правая, а слева - левая тройки векторов.
Векторным произведением векторов a и b называют вектор, обозначаемый [a, b] и удовлетворяющий следующим требованиям: 1) длина вектора [a, b]равна произведению длин векторов a и b на синус угла j между ними (таким образом, если a и b коллинеарны, то [a, b]= 0); 2) если a и b неколлинеарны, то [a, b]перпендикулярен каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a, b,[a, b]является правой. Векторное произведение обладает следующими свойствами: [a, b]= -[b, а], [(la), b]= l[a, b], [с, (a+ b)]=[с, a]+[с, b], [a, [b, с]]= b (a, с) - с(a, b), ([a, b], [с, d])=(a, c)(b, d) - (a, d)(b, c).
Если в ортонормированном базисе i, j, k, образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты íX₁, Y₁, Z₁ý и íX₂, Y₂, Z₂ý, то [a, b]= íY₁Z₂ - Y₂Z₁, Z₁X₂ - Z₂X₁, X₁Y₂ - X₂Y₁ý. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Например, скорость v? точки М тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси l, равна [w, r], где?
Смешанным произведением векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора [a, b] на вектор с: ([a, b], с). Обозначается смешанное произведение символом abc. Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов a, bи с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, bи с, взятому со знаком плюс, если тройка a, bи справая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a, bи с параллельны одной плоскости, то abc= 0. Справедливо также следующее свойство abc= bca = cab. Если координаты векторов a, bи с в ортонормированном базисе i, j, k, образующем правую тройку, соответственно равны íX₁, Y₁, Z₁ý, íX₂, Y₂, Z₂ý и íХ₃, Y₃, Z₃ý, то
Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из некоторого множества ítý ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r, то говорят, что на множестве ítýзадана вектор-функция (векторная функция) r= r (t). Так как вектор r определяется координатами íx, y, zý, то задание вектор-функции r= r (t) эквивалентно заданию трёх скалярных функций: х = x (t), y = y (t), z = z (t).Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к так называемому годографу этой функции, то есть к геометрическому месту концов всех векторов r (t), приложенных к началу координат О (рис. 7). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r (t) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L - годографу функции r (t).
Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение Dt ¹ 0 и вектор Dr= r (t + Dt) - r (t) (на рис. 7 это вектор ) множится на 1/Dt. Предел выражения Dr/Dt при Dt ? 0 называется производной вектор-функции r (t) и обозначается r'(t) или dr/dt. Производная представляет собой вектор, касательный к годографу L в данной точке М. Если вектор-функция рассматривается как закон движения точки по кривой L, то производная r'(t) равна скорости движения этой точки. Правила вычисления производных различных произведений вектор-функций подобны правилам вычисления производных произведений обычных функций. Например, (r₁, r₂)' =(r'₁, r₂)+(r₁, r'₂), [r₁, r₂]" =[r'₁, r₂]+[r₁, r'₂].
В дифференциальной геометрии вектор-функции одного аргумента используются для задания кривых. Для задания поверхностей пользуются вектор-функциями двух аргументов.
Векторный анализ. В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Температура неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физические примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрическое напряжение электромагнитного поля.
Для математического задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости - векторную функцию точки. Математический аппарат теории поля обычно называют векторным анализом. Для геометрической характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля называется линия, на которой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля. Примерами линии уровня могут служить изотермы - линии уровня скалярного поля температур неравномерно нагретой пластинки.
Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается максимальное изменение в этой точке функции f задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f этой точке. Величина градиента равна производной f указанном направлении. Обозначается градиент символом grad f. В базисе i, j k градиент grad f имеет координаты
для плоского поля координаты градиента равны
Градиент скалярного поля представляет собой векторное поле.
Для характеристики векторных полей вводится целый ряд понятий: векторной линии, векторной трубки, циркуляции векторного поля, дивергенции и вихря (ротора) векторного поля. Пусть в некоторой области W задано векторное поле посредством векторной функции а(М) переменной точки М из W. Линия L в области W называется векторной линией, если вектор касательной в каждой её точке М направлен по вектору а(М) (рис. 8). Если поле а(М) - поле скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторные линии этого поля - траектории частиц жидкости. Часть пространства в W, состоящая из векторных линий, называется векторной трубкой (рис. 9). Если обратиться к векторному полю скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторная трубка есть часть пространства, которую "заметает" при своём перемещении некоторый фиксированный объём жидкости.
Пусть АВ - некоторая гладкая линия в W, l - длина дуги АВ, отсчитываемая от точки А до переменной точки М этой линии, t - единичный вектор касательной к АВ в М. Циркуляцией поля а(М)вдоль кривой АВ называется выражение
Если b (M) - силовое поле, то циркуляция а вдоль АВ представляет собой работу этого поля вдоль пути АВ.
Дивергенция векторного поля а(М), имеющего в базисе i, j, kкоординаты Р, Q, R, определяется как сумма
и обозначается символом div а. Например, дивергенция гравитация поля, создаваемого некоторым распределением масс, равна плотности (объёмной) r(х, у, z) этого поля, умноженной на 4p.
Вихрь (или ротор) векторного поля а(М) представляет собой векторную характеристику "вращательной составляющей" этого поля. Вихрь поля а обозначается rotа. Если Р, Q, R - координаты а в базисе i, j, k, то
Пусть поле a есть поле скоростей потока жидкости. Поместим в данной точке потока малое колесико с лопастями и ориентируем его ось по направлению rot а в этой точке. Тогда скорость потока будет максимальной, а её значение будет равно
Градиент скалярного поля, дивергенция и вихрь векторного поля обычно называют основными дифференциальными операциями векторного анализа. Справедливы следующие формулы, связывающие эти операции: ? grad (fh)= f grad h + h grad f, ? div (fa)=(a, grad f)+ f div a, ? rot (fa)= f rot a +[grad f, a], ? div [a, b]=(b, rot a) - (a, rot b).
Векторное поле а(М) называется потенциальным, если это поле представляет собой градиент некоторого скалярного поля f (M). При этом поле f (M) называется потенциалом векторного поля а. Для того чтобы поле а, координаты которого Р, Q, R имеют непрерывные частные производные, было потенциальным, необходимо и достаточно обращение в нуль вихря этого поля. Если в односвязной области W задано потенциальное поле а(М), то потенциал f (M) этого поля может быть найден по формуле
в которой AM - любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из W с точкой М, t - единичный вектор касательной кривой AM и l - длина дуги AM, отсчитываемая от точки А.
Векторное поле а(М) называется соленоидальным, или трубчатым, если это поле представляет собой вихрь некоторого поля b (M). Поле b (M) называется векторным потенциалом поля a. Для того чтобы а было соленоидальным, необходимо и достаточно обращение в нуль дивергенции этого поля. В векторном анализе важную роль играют интегральные соотношения: Остроградского формула, именуемая также основной формулой векторного анализа, и Стокса формула. Пусть V - область, граница Г которой состоит из конечного числа кусков гладких поверхностей, n - единичный вектор внешней нормали к Г. Пусть в области V задано такое векторное поле а(М), что div а представляет собой непрерывную функцию. Тогда справедливо соотношение
называемое формулой Остроградского.
Если a - поле скоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, то (a, n) ds - объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку ds на границе Г. Поэтому правая часть формулы (1) представляет собой поток жидкости через границу Г тела V в единицу времени. Так как в рассматриваемом случае div а характеризует интенсивность источников жидкости, то формула Остроградского выражает следующий наглядный факт: поток жидкости через замкнутую поверхность Г равен количеству жидкости, порождаемой всеми источниками, расположенными внутри Г. Пусть в области W задано непрерывное и дифференцируемое векторное поле а, имеющее непрерывный вихрь rot а. Пусть Г - ориентируемая поверхность, состоящая из конечного числа кусков гладких поверхностей, n - единичный вектор нормали к Г, t - единичный вектор касательной к краю g поверхности Г, l - длина дуги g. Справедливо следующее соотношение
называемое формулой Стокса. Формула (2) выражает следующий физический факт: поток вихря векторного поля а через поверхность Г равен циркуляции этого поля вдоль кривой g. Формула Остроградского служит источником инвариантного (независящего от выбора системы координат) определения основных операций векторного анализа. Например, из этой формулы вытекает, что
Так как выражение
представляет собой поток жидкости через Г, а
величину этого потока на единицу объёма, то определение div а с помощью соотношения (3) показывает, что div а характеризует интенсивность источника в данной точке.
Лит.: Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.-М., 1938; Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1-2, М., 1950-52; Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
? Э. Г. Позняк.