Гильбертово пространство

Гильбертово пространство, математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие "Г. п." находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l₂). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности ??x = (x₁, x₂,..., x_n,...)

такие, что ряд x²₁ + x²₂ +... + х²_n + ...сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор lx, где l - действительное число, определяют естественным образом: ? x + y = (x₁ + y₁,..., x_n + y_n,...), ? lx = (lx₁, lx₂, ..., lx_n,...)/

Для любых векторов х, y Î l₂ формула ? (x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... +x_ny_n + ...
определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число ?