Изоморфизм (матем.)
Изоморфизм (матем.)
Изоморфизм, одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы, кольца, поля и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики.
Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения x = x1+ x1 и систему Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения y = y1y2. Можно показать, что внутреннее "устройство" этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить в систему Р, поставив в соответствие числу х из R число у = ax (а > 1) из Р. Тогда сумме x = x1+ x2 будет соответствовать произведение y = y1y2 чисел ?соответствующих x1и x2. Обратное отображение Р на R имеет при этом вид x = loga y. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы R, можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы Р. Например, если в R сумма
членов арифметической прогрессии выражается формулой
то в Р произведение
членов геометрической прогрессии выражается формулой
(умножению на n в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n-ю степень, а делению на два - извлечение квадратного корня).
Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения - полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов S', изоморфную системе S, можно рассматривать как "модель" системы S ("моделировать систему S при помощи системы S' ") и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств "модели" S'.
Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S', причём в первой определены отношения
а во второй - отношения
Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие
(где х - произвольный элемент S, а x' - произвольный элемент S'), что из наличия Fk (x1,x2,...) вытекает F'k (х'1,х'2,...), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F (x, x1, x2), где x = x1 + x2, в системе Р - отношение F' (y, y1, y2), где у = у1у2; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у = ax, х =1ogay.]
Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.
Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много "интерпретаций", или "моделей" (см., например, в ст. Геометрия, раздел Истолкование геометрии).
Понятие И. включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма, играющее основную роль в топологии.
Частным случаем И. является автоморфизм - взаимно однозначное отображение
системы объектов с заданными отношениями Fk(x1, x2, ...) на самоё себя, при котором из Fk(x1, x2, ...) вытекает F'k(x'1, x'2, ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М. - Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. - Л., 1951.