Исчерпывания метод
Исчерпывания метод, метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название "метод исчерпывания" введено в 17 в.
Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C1, C2, ..., Cn, ... так, что Cn < A;???????????????????????????????????????????????????????????? (1)
предполагают также известным такое В, что Cn < В????????????????????????????????????????????????????????????? (2)
и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства К (A - Cn) < D, К (В - Cn) < D,???????????????????????? (3)
где D - постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству А = В??????????????????????????????????????????????????????????????? (4)
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса - Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = B - А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали К (В - Cn) > К (В - A) > D,
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).
Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием - Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C1, C2, ..., "исчерпывающие" при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом
Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,
Архимед геометрически доказывает, что при любом n
Вводя площадь
Архимед получает, что
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что