Квадратичный вычет

Квадратичный вычет, понятие теории чисел. К. в. по модулю m - число а, для которого сравнение x² º а (mod m) имеет решение: при некотором целом х число x²-a делится на m; если это сравнение не имеет решений, то а называют квадратичным невычетом. Например, если m = 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение x²º 3 (mod 11) имеет решения х =5, х =6, а число 2 будет невычетом, т.к. не существует чисел х, удовлетворяющих сравнению x²º 2 (mod 11). К. в. являются частным случаем вычетов степени n для n = 2.Если m равно простому нечётному числу р, то среди чисел 1, 2,..., р-1 имеется (р-1)/2 К. в. и (р-1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р вводится Лежандра символ , определяемый так: если а взаимно просто с р, то полагают = 1, когда а - К. в., и = - 1, когда а - квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый закон взаимности К. в.: если р и q - простые нечётные числа, то .

Эту закономерность открыл около 1772 Л. Эйлер, современная формулировка дана А. Лежандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс. Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ. Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебраических чисел. И. М. Виноградовыми др.учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.