Краевые задачи

Краевые задачи, задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области. Например, уравнение ?(1)

имеет бесконечное множество решений u (x₁, х₂) = f (x₁+x₂) + f₁(x₁-x₂), где f и f₁ - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике -а £ x₂ ?£ a, 0 £ x₁ £ l, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x₁, x₂ уравнение (1) имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым u (0, x₂) = 0,? u (l, x₂) = 0,? -а £ x₂ ?£ a, (2)

и начальным u (x₁, 0) = j(x₁), ?(3)

условиям. При этом дважды непрерывно дифференцируемые функции j и y считаются наперёд заданными. Если переменное x₂ есть время t, то решение u (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины l с концами, закрепленными в точках (0, 0) и (0, l). Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) - простейший пример так называемой смешанной задачи.
Вообще краевыми называют задачи, в которых в заданной области G пространства независимых переменных (x₁,..., x_n) = х ищется решение u (х) = u (x₁,..., x_n) уравнения Du (x) = 0, x Î G (4)
при требовании, что искомая функция u (х) на границе S области G удовлетворяет краевому (граничному) условию Bu (у) = 0, y Î S, (5)
где D и В - заданные операторы, причём, как правило, D - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница S называется носителем краевых данных (5).
Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что S является (n - 1)-мерной гиперповерхностью, D - линейным дифференциальным оператором второго порядка ,
а ,
где A_{i, j}, B_i, C, F, f - заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же ,
где a_i, i = 1,..., n, f - заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a₁,..., a_n) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если F (x) = 0, f (y) = 0.
Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий , x Î G S (6)
где l₁,..., l_n - произвольные действительные параметры, а k₀ и k₁ - фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.
При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия С (x) £ 0, x Î G,
задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).
Когда D представляет собой оператор Лапласа , решение задачи Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей всегда существует и единственно, причём для некоторых областей частного вида оно выписывается в явном виде. Так, например, при n = 1 в интервале -1 < х < 1 это решение имеет вид u (х) = ,
где f₁= u (-1), f₂ = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1 , ,
где |х-у| - расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) - 5).
В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.
Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма в области D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.
Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a₁..., a_n) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.
Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности ,
являющееся типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ = 0, x₁ = 1, x₂ = 0, x₂ = 1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям: u (0, x₂) = f (x₂), 0 £ x₂ £ 1 u (x₁,0) = j(x₁), 0 £ x₁ £ 1 u (1, x₂) = y(x₂), 0 £ x₂ £ 1 f (0) = j(0), y(0) = j(1)
при произвольных достаточно гладких данных f, j. y. Следовательно, краевое условие u (x₁,1) = q(x₁), 0£ x₁ £ 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ + x₂ = 0, x₁ - x₂ = 0, x₁ + x₂ = 1, x₁ - x₂ = -1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям: u (x₁, x₁) = f (x₁), 0£ x₁ £¹/₂ u (x₁,-x₁) = j(x₁), -¹/₂£ x₁ £0 f (0) = j(0)
при произвольных достаточно гладких данных f и j. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x₁,1+x₁), -¹/₂ £ x₁ £ 0, и u (х₁, 1-x₁), 0 £ x₁ £¹/₂, не могут быть заданы произвольно.
Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области G дифференциальный оператор D принадлежит различным (эллиптическим, гиперболическим и параболическим) типам [т. е. когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].
Для исследования К. з. широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.
Лит.: Бернштеин С. Н., Собр. соч., т. 3, [М.], 1960; Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.- Л., 1948; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н., Самарский Д. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
? А. В. Бицадзе.