Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл, интеграл, взятый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают К. и. 1-го и 2-го типов. К. и. 1-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается через ,

где С - заданная кривая, ds - дифференциал её дуги, a f (P) - функция точки на кривой, и представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (см. Интеграл). В случае плоской кривой С, заданной уравнением у = у (х), К. и. 1-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле: .

К. и. 2-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С он имеет вид:

и является также пределом соответствующих интегральных сумм. К. и. 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле: ,
где х = x (t), у = у (t) (a £ t £b) - уравнения кривой С в параметрической форме, и к К. и. 1-го типа по формуле: ;
здесь a - угол между осью Ox и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.
Аналогично определяется К. и. 2-го типа в пространстве. О К. и. 2-го типа с векторной точки зрения см. Векторное исчисление.
Пусть D - некоторая область и С - её граница. При некоторых условиях между К. и. по кривой С и двойным интегралом по области D (см. Кратный интеграл)имеет место соотношение:
(см. Грина формулы), а между К. и. и поверхностным интегралом - соотношение:
(см. Стокса формула).
Особенно большое значение К. и. приобрели в теории функций комплексного переменного (см. Аналитические функции). К. и. имеют широкое применение в различных областях механики, физики и техники.
Лит.: см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.