Кубическое уравнение

Кубическое уравнение, алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид К. у.: ax³ + bx² + cx + d = 0,

где а ¹ 0. Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у- b/3a, К. у. можно привести к более простому (каноническому) виду: y³ + py + q = 0,

где p =-b²/3a² + c/a, q =2b/27a³ - bc/3a² + d/a,

решение же этого уравнения можно получить с помощью Кардано формулы: .
Если коэффициенты К. у. - действительные числа, то вопрос о характере его корней зависит от знака выражения q²/4+p³/27, стоящего под квадратным корнем в формуле Кардано. Если q²/4 + p³/27>0, то К. у. имеет три различных корня: один из них действительный, два других - сопряжённые комплексные; если q²/4+p³/27 =0, то все три корня действительны, два из них равны; если q²/4+p³/27 <0, то все три корня действительны и различны. Выражение q²/4+p³/27 только постоянным множителем отличается от дискриминанта К. у. D = -4p³- 27q².
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова (и др.), кн. 2, М.- Л., 1951.