Линия (геометрич. понятие)

Линия (геометрич. понятие)
Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.

1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О - центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.

2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

x = R cos t, y = R sin t.
Когда параметр t пробегает отрезок 0 £ t £ 2p, точка (х, у) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида
x = j (t), у = (t),
где j (t), (t) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале D числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала D) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из D, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M₁ соответствует значению параметра t₁, а точка M₂ - значению t₂, то M₁ считается предшествующей M₂, если t₁ < t₂ При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.
Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида
x = j (t), у = (t), z = c (t),
где j (t), (t), c (t) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида
P = j (t),
где j- функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше).
В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а £ t £ b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления
Р = j (t), a £ t £ b
? P = j₁(t₁), a₁ £ t₁ £ b₁,
изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции
t₁ =_? f(t),
для которой
f(a) = a₁, f(b) = b₁, j (t) = j₁[f(t)].
Такое понимание термина "Л." наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).
Например, при изменении t в пределах - ¥ < t < ¥ точка с координатами
,
описывает строфоиду (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", ? 5), попадая в положение х = 0, у = 0 два раза при t = - 1 и t = + 1.
3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением
F(x, y) = 0;
в пространстве - двумя уравнениями
F(x, у, z) = 0, G(x, y, z) = 0.
Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой) - Л., определяемой уравнением
F(x, y)= 0,
где F(x, у) - целая алгебраическая функция, т. е. многочлен како-либо степени n ³ 1. В этом случае считают, что два многочлена F₁(x, у) и F₂(x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ¹ 0, что выполняется тождественно соотношение
F₁(x, y) = cF₂(x, у).
Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение
(х - у)² = 0
определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х - у = 0.
В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н - отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.
Говорят, что точка (x₀, y₀) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение F(x, у) по степеням x = х - x₀, h = у - y₀ начинается с членов степени m (по совокупности переменных x и h). В случае m = 2, т. е. в случае двойной точки
F(x, у) = а₁₁(х - x₀)² + 2а₁₂(х - x₀)(у - y₀) + a₂₂(y - y₀)² + ...,
где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта
d = a₁₁a₂₂ - а₁₂²
можно определить тип двойной точки (см. Особые точки).
4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.
С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением
F(x₁, x₂, x₃)= 0
между однородными координатами x₁, x₂, x₃ её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением
F(x₁, x₂, x₃) = 0,
связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л. - степени уравнения F = 0. Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. см. также Уникурсальные кривые.
5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.
Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции P = j (t), где t пробегает отрезок а £ t £ b, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-x гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая). Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.
Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Урысоном, который определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом e > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего e, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют "канторовыми кривыми".
? Л. Н. Колмогоров.
6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка (эллипс, гиперболу и параболу). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт).
Из Л. третьего порядка наиболее известны:
Декартов лист (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", ? 1). уравнение в прямоугольных координатах: x³ + y³ - 3аху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( -а, 0) и (0, -а), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли. Название "декартов лист" установилось в начале 18 в.
Локон Аньези (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", ? 2). Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a³/(a² + x²). Исследование этой Л. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).
Кубическая парабола (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", ? 3). уравнение в прямоугольных координатах: у = x³.
Полукубическая парабола (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", ? 4), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх^3/2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.
Строфоида (от греч. stróphos - кручёная лента и éidos - вид) (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", ? 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r = -a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.
Циссоида Диоклеса (см. рис. "Алгебраические кривые третьего порядка", ? 6) (греч. kissoeides, от kissós - плющ и éidos - вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р - произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: y² = х³/(а - х); в полярных координатах: r = asin² j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.
Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны:
Кардиоида (от греч. kardía - сердце и éidos - вид) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 1), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² - 2ах)² = 4a(x² + y²); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).
Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides - похожий на раковину) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., OM = OP - d или OM' = OP + d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: (х - а)²(х² + y²) - d²x² = 0, в полярных координатах: r = a/cosj ? d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250-150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.
Лемниската Бернулли (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 3) (от лат. lemniscatus, буквально - украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F₁ ( - а, 0) и F₂ (а, 0) равно а². уравнение в прямоугольных координатах:(x² + y²)² - 2a² (x² - y²) =0, в полярных координатах: r² = 2а² cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.
Овалы Декарта (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 4), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF₁ + + nMF₂ = с. уравнение в прямоугольных координатах:
(x + y?? -2rx)² - l²(x² + y²) - k = 0,
где r, l и k - некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d; в полярных координатах:
(n² - m²)(² + 2((mc - n2d cos () + n²d² - с² = 0.
Помимо фокусов F₁ и F₂, имеется и третий фокус F₃, равноправный с каждым из них. При m = 1, n = 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m = 1 и n = -1 - в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).
Овалы Кассини (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 5), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F₁ и F₂ точки на оси абсцисс, F₁F₂ = 2b, а произведение MF₁×MF₂ = а². уравнение в прямоугольных координатах:
(x² + y²)² - 2b² (a² - y²) = a⁴ - b⁴.
Если , то овал Кассини - выпуклая кривая; если b < a < , то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).
Улитка Паскаля (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 6), геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM' = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² - 2Rx)² - а²(х² + y²) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588-1651), впервые изучавшего её.
Астроида (от греч. ástron - звезда и éidos - вид) (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x^2/3 + y^2/3 = а^2/3, где а - радиус неподвижной окружности. Астроида - линия 6-го порядка.
Розы (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 8), кривые, полярное уравнение которых:r = a sin mj; если m - рациональное число, то розы - алгебраической Л. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из от лепестков, при m чётном - из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.
Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. "Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков", ? 9), кривые, полярное уравнение которых r^m = a^m cosmj; если m - рациональное число, то эти Л. - алгебраические. Частные случаи: m = 1 - окружность, m = - 1 - прямая, m = 2 - лемниската Бернулли, m = -2 - равнобочная гипербола, m = ¹/₂ - кардиоида, m = - ¹/₂ - парабола. При целом m > 0 Л. состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то Л. состоит из от бесконечных ветвей.
Большой интересный класс составляют трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также следующие Л.:
Квадратриса (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 1). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A'B' от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA = r в положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A'B' и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: . Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.
Трактриса (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 2), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. уравнение в прямоугольных координатах:
.
Цепная линия (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 3), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах: у = a = а (e^x/a + е^-х/a)/2.
Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный) (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 4), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 4а), если она лежит внутри круга (r > а), - укороченную циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 4б), если точка вне круга (r < а), - удлинённую циклоиду (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 4в). Две последние Л. называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:
, .
Среди трансцендентных Л. особый класс составляют спирали (от греч. spéira, буквально - витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. Из спиралей наиболее известны:
Архимедова спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: r = aj, где а - постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.
Гиперболическая спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: r = а/j.
Жезл (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 7), кривая, уравнение которой в полярных координатах: . Каждому значению j соответствуют два значения r - положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу.
Логарифмическая спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 8), кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = ае^кj. Была известна многим математикам 17 в.
Спираль Корню (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 9), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме:
, y = a .
Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света.
Si-ci-спираль (см. рис. "Трансцендентные кривые", ? 10), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид
,
,
si(t) и ci(t) - интегральный синус и интегральный косинус.
К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них:
Гипоциклоида (см. рис. "Циклоидальные кривые", ? 1а, 1б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. уравнение в параметрической форме:
,
,
где А - радиус неподвижной, а а - подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.
Эпициклоида (см. рис. "Циклоидальные кривые", ? 2а, 2б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой а на - а.
Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (см. рис. "Циклоидальные кривые", ? 3а, 4д). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. "Циклоидальные кривые", ? 3б, 4б). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами.
? В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов.??Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. - Л., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1-2, Lpz. - B., 1910-11.