Линейные дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения вида

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) у^(n-1) + ... + p_n(x)y = f(x), (1)

где у = y(x) - искомая функция, y⁽ⁿ⁾, у^(n-1),..., y' - её производные, a p₁(x), p₂(x),..., p_n(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) - заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) º 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение y₀ = y₀(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов p_k(x) выражается формулой:

y₀ = C₁y₁(x) + С₂у₂(х) + ... + C_ny_n(x),
где C₁, C₂,..., C_n - произвольные постоянные и y₁(x), у₂(х),..., y_n(x) - линейно независимые (см. Линейная зависимость)частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (вронскиана):
? ?(2)
Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:
y = y₀+Y,
где y₀ = y₀(x) - общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) - частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:
,
где y_k(x) - решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и W_k(x) - алгебраическое дополнение элемента y_k^(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).
Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: p_k(x) = a_k (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:
,
где a_k ? ib_k (k = 1, 2, ..., m; ) - корни т. н. характеристического уравнения:
lⁿ + a₁l^n-1 + ... +a_n = 0,
n_k - кратности этих корней и C_ks, D_ks - произвольные постоянные.
Пример. Для Л. д. у. y??? + у = 0 характеристическое уравнение имеет вид: l³ + 1 = 0. Его корнями являются числа:
l₁ = -1; l₂ = ?и l₃ =
Следовательно, общее решение этого уравнения таково:
.
Системы Л. д. у. имеют вид:
?(3)
(j = 1, 2, ..., n).
Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все f_j(x)º 0] даётся формулами:
?
(j = 1, 2, ..., n)
где y_j1, y_j2, ..., y_jn - линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ½y_jk(x)½ ¹ 0 хотя бы в одной точке).
В случае постоянных коэффициентов p_jk(x) = a_jk частные решения однородной системы следует искать в виде:
?
(j = 1, 2, ..., n),
где A_js - неопределённые коэффициенты, a l_k - корни характеристического уравнения
?
и m_k - кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц].
Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.