Линейный функционал
Линейный функционал, обобщение понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:
1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),
где х и у - любые элементы из Е, a и b - числа;
2) f(x) непрерывна.
Непрерывность f равносильна требованию, чтобы ?было ограничено в Е; выражение ?называют нормой f и обозначают .
В пространстве С [a, b] функций a(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой ?Л. ф. являются, например, выражения:
,
f2[((t)] = ((t0), a ( t0 ( b.
В гильбертовом пространстве Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l - любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.
Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.
Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство , если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство ?называют сопряжённым к ; это пространство играет большую роль при изучении Е.
С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если
для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.