Логическое исчисление

Логическое исчисление, исчисление (формальная система), интерпретируемое в терминах какого-либо фрагмента дедуктивной логики. Различные Л. и. служат базой для построения более богатых "нелогических" (например, математических) теорий. Примерами Л. и., используемых для указанной цели, служат исчисление высказываний и исчисление предикатов, различные их ослабления (см. Интуиционистская логика, Положительная логика, Минимальная логика), а также расширения, полученные добавлением к ним модальных операторов (возможности, необходимости, см. Модальная логика) или предиката равенства. При построении на основе Л. и. какой-либо теории к "чистому" Л. и. присоединяют различные предметные, предикатные и (или) функциональные константы и постулаты (аксиомы и, быть может, правила вывода), характеризующие эти константы. Простейшим и наиболее важным примером получающегося в результате "прикладного" Л. и. служит уже упомянутое исчисление предикатов с равенством (квалифицируемое как Л. и. в зависимости от того, относят ли равенство к "чисто логическим" или "математическим" предикатам), являющееся составной частью всех более развитых и богатых аксиоматических математических теорий. Из числа последних особенно важную роль играют логико-арифметические исчисления, интерпретацией которых служит натуральный ряд чисел с определёнными на нём отношениями (равенство, "больше", "меньше") и операциями (сложение, умножение и др.; см. Арифметика, Математическая индукция) и различные системы аксиоматической теории множеств. Исследование таких логико-математических исчислений есть важнейшая задача обоснования логики и математики (см. Аксиоматический метод). (В то же время их теория с некоторой точки зрения, разделяемой, например, представителями конструктивного направления в математике и логике, более "элементарна", нежели теория "чисто" Л. и., поскольку понятия последних являются продуктом более высоких абстракций.)

Кроме указанного выше, термин "Л. и." допускает также несколько расширительных толкований. Так, помимо Л. и., основанных на "двузначной" логике (в которой допускаются лишь два "истинностных значения" высказываний: "истина" и "ложь"), значительное распространение получили различные системы многозначной логики. К Л. и. причисляются и всевозможные модификации типов теории, введённой Б. Расселом, т. е. исчисления с несколькими "сортами" (типами, уровнями, ступенями) переменных: индивиды, предикаты, предикаты от предикатов и т. д. Все упомянутые до сих пор Л. и. принято называть по имени Д. Гильберта "системами гильбертовского типа". Однако понятие "Л. и." шире: под это наименование подпадают и различные модификации введённых немецким логиком Г. Генценом секвенций исчисления и натурального исчисления. "Л. и." называются также фрагменты логики, строящиеся не аксиоматически, а на основе содержательного ("табличного") определения логических операций (см. также Алгебра логики).

? Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; Шанин Н. А., О конструктивном понимании математических суждений, "Тр. Математического института АН СССР", 1958, т. 52.
? Ю. А. Гастев.