Логарифм

Логарифм числа N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается log_aN. Итак, m = log_aN, если а^м = N. Например, log₁₀ 100 = 2; log₂ ¹/₃₂ = - 5; log_a 1 = 0, т. к. 100 = 10², ¹/₃₂ = 2^-5, 1 = a⁰. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ¹ 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств. действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Основные свойства Л.:

log_a(MN) = log_aM + log_aN;

log_aM/N = log_aM - log_aN;

log_aN^k = k log_aN;
log_a log_aN
позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня - к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.
Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10^k с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа, которые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. характеристикой, дробную - мантиссой. Так как lg(10^kN) = k + lgN, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10^k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы).
Большое значение имеют также натуральные Л., основанием которых служит трансцендентное число e = 2,71828...; их обозначают lnN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле log_bN = log_aN/log_ab, множитель 1/log_ab называется модулем перехода (перевода) от основания а к основанию b. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем
lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10;
1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429....
Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Л. сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что
In(1+x) = x
Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение
ln .
Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.
Термин "Л." предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь - отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются "двойным", "тройным" и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова "lógu arithmós" означали "число (кратность) отношения", то есть Л. у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин "натуральный логарифм" принадлежит Н. Меркатору, "характеристика" - английскому математику Г. Бригсу, "мантисса" в нашем смысле - Л. Эйлеру, "основание" Л. - ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Современное определение Л. впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак Л. - результат сокращения слова "Л." - встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. - Б. Кавальери (1632, 1643)].
Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М. - Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.