Наибольший общий делитель

Наибольший общий делительдвух или нескольких натуральных чисел - наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. 45 и 72 есть 9, Н. о. д. 60, 84, 96 и 120 есть 12. Н. о. д. пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на которое могут быть сокращены числитель и знаменатель дроби, - их Н. о. д. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. д. этих чисел нужно составить произведение тех множителей, которые входят одновременно во все разложения, взяв каждый наименьшее число раз, какое он встречается. Так, 60 = 2×2×3×5, 72 = 2×2×2×3×3 и 252 = 2×2×3×3×7; поэтому Н. о. д. 60, 72 и 252 есть 2×2×З = 12. Общим приёмом отыскания Н. о. д. двух чисел является способ последовательного деления, указанный ещё в 3 в. до н. э. Евклидом (Евклида алгоритм). Он заключается в том, что большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее - на остаток от первого деления, остаток от первого деления - на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет Н. о. д. данных чисел. Например, чтобы найти Н. о. д. 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 2464×1 + 1078, 2464 = 1078×2 + 308, 1078 = 308×3 + 154, 308 = 154×2. В остатке при последнем делении - нуль; следовательно, Н. о. д. 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если Н. о. д. двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми. Н. о. д. d двух чисел а и b и наименьшее общее кратное m этих чисел связаны соотношением dm = ab.

Понятие Н. о. д. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. д. двух или нескольких многочленов есть многочлен наивысшей степени, на который делится каждый из данных. Для нахождения Н. о. д. многочленов применяются приёмы, совершенно аналогичные указанным выше для чисел (в частности, алгоритм Евклида).