Нормальный алгорифм

Нормальный алгорифм, одно из современных уточнений понятия алгоритма, получившее распространение в исследованиях по конструктивной математике. Предложено в 1950 А. А. Марковым, впервые систематически и строго построившим на основе этого уточнения общую алгоритмов теорию. Н. а. эквивалентны частично-рекурсивным функциям (см. Рекурсивные функции), а следовательно, и Тьюринга машинам.

Концепция Н. а. специально приспособлена для реализации алгоритмов, действующих над словами в тех или иных алфавитах. При этом под алфавитом в математике понимается любой конечный набор четко отличимых друг от друга графических символов (букв), а под словом в данном алфавите - произвольная конечная цепочка букв этого алфавита. Цепочка, вовсе не содержащая букв, также считается словом в данном алфавите (пустое слово). Например, цепочки "ииаам", "книга", "гамма" являются словами в русском алфавите, а также в шестибуквенном алфавите {к, н, и, г, а, м}. Элементарным актом преобразования слов в алгоритмических процессах, задаваемых Н. а., является т. н. операция "подстановки вместо первого вхождения". Пусть Р, Q, R - слова в некотором алфавите. Результатом подстановки Q вместо первого вхождения Р в R называется слово å (R, Р, Q), получаемое следующим образом. Если Р входит в R, т.е. R представимо в виде S₁PS₂, то среди таких представлений отыскивается представление с наиболее коротким словом S₁ и полагается å (R, Р, Q) = S₁QS₂. Если же Р не входит в R, то å (R, Р, Q) = R. Так, å (гамма, а, е) = гемма.

Для задания Н. а. ?необходимо фиксировать некоторый алфавит А, не содержащий букв "?" и " Ї ", и упорядоченный список слов вида Р ? Q (простая формула подстановки) или Р ?Ї Q (заключит. формула подстановки), где Р и Q - слова в А. Формулы подстановок принято записывать друг под другом в порядке следования, объединяя их слева фигурной скобкой. Получающаяся фигура называется схемой Н. а. Исходными данными и результатами работы Н. а. ?являются слова в А (сам Н. а. ?называется Н. а. в алфавите А). Процесс применения к слову R Н. а. ?со схемой вида

где d_i? (1 £ i ?£ n)?? означает "?" или "?", разворачивается следующим образом. Отыскивается наименьшее i, при котором P_i входит в R. Если все P_i не входят в R, то работа ?заканчивается и её результатом считается R. Если требуемое i найдено, то переходят к слову å (R, P_i, Q_i). При этом в случае, если использованная формула подстановки P_id_iQ_i была заключительной (d_i = ? ), работа ?заканчивается и результатом считается å (R, P_i, Q_i). Если же формула P_id_iQ_i - простая, то описанная процедура повторяется с заменой R на å (R, R_i, Q_i).
Пример. Натуральные числа можно рассматривать как слова в алфавите {О, 1} вида 0, 01, 01l,... Н. а. в этом алфавите со схемами {0 ? Ї 01 и {1? переводят каждое натуральное число п соответственно в n + 1 и в 0.
Множество всех Н. а. замкнуто относительно известных способов комбинирования алгоритмов. Например, по любым двум Н. а. ?и ?можно построить Н. а. , являющийся композицией ?и , т. е. реализующий следующий интуитивный алгоритм: "сначала выполнить алгоритм , затем к результату применять ".
Соотношение между интуитивными алгоритмами и Н. а. описывается выдвинутым А. А. Марковым принципом нормализации: всякий алгоритм, перерабатывающий слова в данном алфавите А в слова в этом же алфавите, может быть реализован посредством Н. а. в некотором расширении А. [Легко указать очень простые алгоритмы в А, не реализуемые Н. а. в A; с другой стороны, всегда можно ограничиться двухбуквенным (и даже однобуквенным) расширением A.] Принцип нормализации эквивалентен тезису Чёрча и, аналогично последнему, не может быть доказан из-за неточности интуитивной концепции алгоритма.
Лит.: Марков А. А., Теория алгорифмов, М. - Л., 1954 (Тр. Математического института АН СССР, т. 42); Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971.
? Б. А. Кушнер.