Аналитические функции

Аналитические функции, функции, которые могут быть представлены степенными рядами. Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во-первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и её приложений к естествознанию и технике. Аналитическими являются элементарные функции - многочлены, рациональные функции, показательная и логарифмическая, степенная, тригонометрические и обратные тригонометрические, гиперболические и им обратные, алгебраические функции, и специальные функции - эллиптические, цилиндрические и др. Во-вторых, класс А. ф. замкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа; применение арифметических действий к функциям этого класса, решение алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами, дифференцирование и интегрирование А. ф. приводят снова к А. ф. Наконец, А. ф. обладают важным свойством единственности; каждая А. ф. образует одно "органически связанное целое", представляет собой "единую" функцию во всей своей естественной области существования. Это свойство, которое в 18 в. считалось неотделимым от самого понятия функции, приобрело принципиальное значение после установления в 1-й половине 19 в. общей точки зрения на функцию как на произвольное соответствие.

Теория А. ф. создана в 19 в., в первую очередь благодаря работам О. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса. Решающую роль в построении этой теории сыграл "выход в комплексную область" - переход от действительного переменного х к комплексному переменному z = х + iy, которое может меняться в произвольной области комплексной плоскости. Теория А. ф. возникла как теория функций комплексного переменного; в некотором смысле именно аналитические (а не произвольные комплексные функции двух действительных переменных х и y) естественно считать функциями комплексного переменного z. Теория А. ф. составляет основное содержание общей теории функций комплексного переменного. Поэтому часто под теорией функций комплексного переменного понимают именно теорию А. ф.

Существуют различные подходы к понятию аналитичности. В основе одного из них, впервые развитого Коши и далеко продвинутого Риманом, лежит структурное свойство функции - существование производной по комплексному переменному, или комплексная дифференцируемость. Этот подход тесно связан с геометрическими соображениям и. Другой подход, систематически развивавшийся Вейерштрассом, основывается на возможности представления функций степенными рядами; он связан, тем самым, с аналитическим аппаратом, которым может быть изображена функция. Основной факт теории А. ф. заключается в тождественности соответствующих классов функций, рассматриваемых в произвольной области комплексной плоскости.

Приведём точные определения. Всюду в дальнейшем через z обозначается комплексное число х + iy, где x и y - действительные числа. Геометрически число z изображается точкой плоскости с координатами х и y; евклидова плоскость, точки которой отождествляются с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Пусть D - область (открытое связное множество) в комплексной плоскости. Если каждой точке z области D приведено в соответствие некоторое комплексное число w, то говорят, что в области D определена (однозначная) функция f комплексного переменного z, и пишут: w = f(z), z(D. Функция w = f(z) = f(x + iy) комплексного переменного z (D может рассматриваться как комплексная функция двух действительных переменных х и y, определённая в области D. Полагая w = u + iv, где u и v - действительные числа, замечают, что задание такой функции f эквивалентно заданию двух действительных функций j и y двух действительных переменных х и y, определённых в той же области:
u = j(x, y), v = y(x, y), (x, y)ÎD.
Пусть z - фиксированнаяточка области D. Придадим z произвольное приращение Dz = Dx + iDy (так, чтобы точка z+Dz оставалась в пределах области D) и рассмотрим соответствующее приращение функции f : Df (z) = f (z + (z) - f (z). Если разностное отношение Df (z)/Dz имеет предел при Dz?0, т. е. существует комплексное число А такое, что для любого e > 0 будет ïDf(z)/Dz - Aï < e как только ïDzï < d (d = d(e) > 0), то функция f называется моногенной в точке z, а число А - её производной в этой точке: А = f' (z) = df(z)/dz. Функция, моногенная в каждой точке области D, называется моногенной в области D.
Если функция f моногенна в точке zÎD, то f и соответствующие функции j и y имеют в этой точке частные производные по х и y; при этом Іf/Іx = Іy/Іx + i(Іy/Іx), Іf/Іy = Іj/Іy + i(Іy/Іy). Производную f? (z ) можно выразить через частные производные f по х и по у (достаточно вычислить предел отношения Df(z)/Dz двумя разными способами - при Dz = Dx ? 0 и при Dz = iDy ? 0; приравнивая соответствующие выражения, получаем Іf/Іx = (1/i)Іf/Іy или, что то же самое, Іf/Іx + i(Іf/Іy) = 0. Переходя к функциям j и y, это равенство можно переписать так: Іj/Іx = Іy/Іy, Іj/Іy = - Іy/Іx. Если функция f моногенна в области D, то последние соотношения справедливы в каждой точке области D; они называются уравнениями Коши - Римана. Следует отметить, что эти уравнения встречались уже в 18 в. в связи с изучением функций комплексного переменного в трудах Д'Аламбера и Л. Эйлера.
Моногенность функции f эквивалентна её дифференцируемости в смысле комплексного анализа. При этом под дифференцируемостыо f в точке zÎD понимается возможность представления её приращения в виде Df(z) =ADz + a(Dz)Dz, где a(Dz) ? 0 при Dz ? 0; дифференциал df(z)функции f в точке z, равный главной части ADz её приращения Df(z), в этом случае пропорционален dz = Dz и имеет вид f?(z) dz. Полезно сравнить понятия дифференцируемости функции f - в смысле действительного анализа и в смысле комплексного анализа. В первом случае дифференциал df имеет вид (Іf/Іx) dx + (Іf/Іy) dy. Удобно переписать это выражение в комплексной форме. Для этого переходят от независимых переменных x, у к переменным z, , которые формально можно считать новыми независимыми переменными, связанными со старыми соотношениями: z = х + iy, ?= x - iy (становясь на эту точку зрения, функцию f иногда записывают в виде f(z, ). Выражая dx и dy через dz и d ?по обычным правилам вычисления дифференциалов, получают df = (Іf/Іz)dz + (Іf/І )d , где Іf/Іz = (¹/₂) (Іf/Іx - iІf/Іy) и Іf/І = (¹/₂) (Іf/Іx + iІf/Іy) (формальные) производные функции f по z и ?соответственно.
Отсюда уже нетрудно заключить, что дифференцируемость функции f в смысле комплексного анализа имеет место в том и только том случае, когда она дифференцируема в смысле действительного анализа и справедливо равенство Іf/І = 0, являющееся краткой формой записи уравнений Коши - Римана; при этом
Іf/Іz = f? = df/dz.
Равенство Іf/І = 0 показывает, что дифференцируемыми в смысле комплексного анализа являются те и только те функции f, которые, рассматриваемые формально как функции независимых переменных z и ?"зависят только от z", являются "функциями комплексного переменного z".
Интеграл от функции f = j + iy вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой Г можно определить с помощью понятия криволинейного интеграла:

Центральное место в теории моногенных функций (теории Коши) занимает следующая итегральная теорема Коши: если функция моногенна в односвязной области D, то S_Г f(z)dz = 0 для любой замкнутой кривой Г, лежащей в этой области. В произвольной области D то же утверждение справедливо для замкнутых кривых Г, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку (оставаясь в пределах области D). Опираясь на интегральную теорему Коши, нетрудно доказать интегральную формулу Коши: если функция f моногенна в области D и Г - простая замкнутая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью D_Г то для любой точки zÎD_Г

(ориентация кривой Г предполагается положительной относительно области D _Г)
Пусть функция f моногенна в области D. Фиксируем произвольную точку z₀ области D и обозначим через g окружность с центром в точке z₀ и радиусом r > 0, принадлежащую, вместе со всем кругом: К: Iz - z₀I < r, области D. Тогда

Представим ядро Коши 1/(t-z) для tÎg и zÎK в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:
поэтому ряд сходится равномерно относительно tÎg при любом фиксированном zÎK, интегрируя этот ряд - после умножения на
- почленно, получают разложение функции f в степенной ряд
сходящийся в круге K: I z - z₀ I < r.
Уточним теперь понятие аналитичности. Пусть f - функция, определённая в области D; она называется аналитической (или голоморфной) в точке z₀ области , если существует окрестность этой точки (круг с центром в z₀), в которой функция f представляется степенным рядом: f (z) = a₀ + a₁(z - z₀) + a₂(z - z₀)² +. . . . + a_n(z - z₀)ⁿ+ . . .
Если это свойство имеет место в каждой точке z₀ области D, то функция f называется аналитической (голоморфной) в области D.
Выше было показано, что функция f, моногенная в области D, аналитична в этой области. В отдельной точке это утверждение неверно; например, функция f(z) = êzê² = z моногенна в точке z₀ = 0, но нигде не аналитична. С другой стороны, функция f , аналитическая в точке z₀ области D, моногенна в этой точке. Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному z; коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции f в точке z₀ по формулам: a_n=f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!. Степенной ряд, записанный в форме
называется рядом Тейлора функции f в точке z₀. Тем самым, аналитичность функции f в области D означает, что в каждой точке области D функция f бесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.
Следовательно, понятия моногенности и аналитичности функции в области тождественны и каждое из следующих свойств функции f в области D - моногенность, дифференцируемость в смысле комплексного анализа, дифференцируемость в смысле действительного анализа вместе с выполнением уравнений Коши - Римана - может служить определением аналитичности f в этой области.
Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области D и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в D, совпадают и во всей области D (тождественны). В частности, аналитическая в области функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.
Если Е - произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция f (z), zÎE, называется аналитической на множестве E, если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении которой с множеством Е функция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что f аналитична на некотором открытом множестве, содержащем Е (точнее, существует открытое множество, содержащее Е, и аналитическая на нём функция, f совпадающая с f на множестве E). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой. Например,
С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А. ф. существенно свойство связности множества E. Поэтому А. ф. рассматриваются обычно в областях, т.е. на открытых и связных множествах.
Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности - т. н. особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f - А. ф. в области вида 0 < |z - z₀| < r; в этой области f разлагается в ряд Лорана:
содержащий, вообще говоря, не только положительные, но и отрицательные степени z - z₀. Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют (a_n = 0 для n = -1, -2,...), то z₀ называется правильной точкой f. В правильной точке существует и конечен
полагая f(z₀) = a₀, получают функцию, аналитическую во всём круге ïz - z₀ï < r.
Если ряд Лорана функции f содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями z - z₀:
то точка z₀ называется полюсом функции f (порядка m); полюс z₀ характеризуется тем, что
В случае, если ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней z - z₀, то z₀ называется существенно особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f. Если z₀ - изолированная особая точка функции f, то коэффициент a_-1 в её разложении в ряд Лорана называется вычетом функции f в точке z₀.
Функции, представимые в виде отношения двух функций, аналитических в области D, называется мероморфными в области D. Мероморфная в области функция аналитична в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности. Если допустить такие значения, то мероморфные в области D функции могут быть определены как функции, которые в окрестности каждой точки z₀ области D представимы рядом по степеням z - z₀, содержащим конечное (зависящее от z₀) число членов с отрицательными степенями z - z₀.
Часто аналитическими в области D называют как аналитические (голоморфные), так и мероморфные в этой области функции. В этом случае голоморфные функции называют также регулярными аналитическими или просто регулярными. Простейший класс А. ф. составляют функции, аналитические во всей плоскости; такие функции называют целыми. Целые функции представляются рядами вида a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a_nzⁿ +...,
сходящимися во всей комплексной плоскости. К ним относятся многочлены от z, функции
Функции, мероморфные во всей плоскости (т. е. представимые в виде отношения целых функций), называются мероморфными функциями. Таковыми являются рациональные функции от z (отношения многочленов),
эллиптические функции и т. д.
Для изучения А. ф. важное значение имеют связанные с ними геометрические представления. Функцию w = f(z), z(D можно рассматривать как отображение области D в плоскость переменного w. Если f есть А. ф., то образ f(D) области D также является областью (принцип сохранения области). Из условия комплексной дифференцируемости функции f в точке z₀ÎD следует, что при f?(z₀) ¹ 0 соответствующее отображение сохраняет углы в z₀, как по абсолютному значению, так и по знаку, т. е. является конформным. Т.о., существует тесная связь между аналитичностью и важным геометрическим понятием конформного отображения. Если f аналитична в D и f(z¢) ¹ f(z¢¢) при z¢ ¹ z¢¢ (такие функции называются однолистными), то f¢ (z) ¹ 0 в D и f определяет взаимно однозначное и конформное отображение области D на область G = f(D). Теорема Римана - основная теорема теории конформных отображений - утверждает, что в любой односвязной области, граница которой содержит более одной точки, существуют однолистные А. ф., конформно отображающие эту область на круг или полуплоскость.
Дифференцируя уравнения Коши - Римана, нетрудно усмотреть, что действительная и мнимая части функции f = j+iy, аналитичны в области D, удовлетворяют в этой области уравнению Лапласа:
т. е. являются гармоническими функциями. Две гармонические функции, связанные между собой уравнениями Коши - Римана, называются сопряжёнными. В односвязной области D любая гармоническая функция j имеет сопряжённую функцию y и является, тем самым, действительной частью некоторой аналитической в D функции f. Связи с конформными отображениями и гармоническими функциями лежат в основе многих приложений теории А. ф.
Всё сказанное выше относилось к однозначным А. ф. f рассматриваемым в данной области D комплексной плоскости. Задаваясь вопросом о возможности продолжения функции f как А. ф. в большую область, приходят к понятию А. ф., рассматриваемой в целом - во всей своей естественной области существования. При таком продолжении данной функции область её аналитичности, расширяясь, может налегать сама на себя, доставляя новые значения функции в точках плоскости, где она уже была определена. Поэтому А. ф., рассматриваемая в целом, вообще говоря, оказывается многозначной. К необходимости изучения многозначных А. ф. приводят многие вопросы теории функций (обращение функций, нахождение первообразных и построение А. ф. с заданной действительной частью - в многосвязных областях, решение алгебраических уравнений с аналитичными коэффициентами и др.); такими функциями являются
алгебраические функции и т. д. Регулярный процесс, приводящий к полной А. ф., рассматриваемой в своей естественной области существования, был указан К. Вейерштрассом; он носит название аналитического продолжения по Вейерштрассу.
Исходным является понятие элемента А. ф. - степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости. Такой элемент W₀: a₀ + a₁(z - z₀) + a₂(z - z₀)² + ... + a_n(z - z₀)ⁿ + ... определяет некоторую А. ф. f в своём круге сходимости K₀. Пусть z₁ - точка круга K₀, отличная от z₀. Разлагая функцию f в ряд Тейлора с центром в точке z₁, получают новый элемент W₁: b₀ + b₁(z - z₁) + b₂(z- z₁)² + ... +b_n(z- z₁)ⁿ + ... ,
круг сходимости которого обозначают через K₁. В общей части кругов K₀ и K₁ ряд W₁ сходится к той же функции, что и ряд W₀. Если круг K₁выходит за пределы круга K₀, то ряд W₁ определяет функцию, заданную посредством W₀, на некотором множестве вне K₀ (где ряд W₀ расходится). В этом случае элемент W₁ называется непосредственным аналитичным продолжением элемента W₀. Пусть W₀, W₁ ..., W_N - цепочка элементов такая, что W_i+1 является непосредственным аналитичным продолжением W_i (i = 1, ..., N - 1); тогда элемент W_N называется аналитичным продолжением элемента W₀ (посредством данной цепочки элементов). Может оказаться так, что центр круга K_N принадлежит кругу K₀, но элемент W_N не является непосредственным аналитичным продолжением элемента W₀. В этом случае суммы рядов W₀ и W_N в общей части кругов K₀ и K_N имеют различные значения; тем самым аналитичное продолжение может привести к новым значениям функции в круге K₀.
Совокупность всех элементов, которые могут быть получены аналитичным продолжением элемента W₀, образует полную А. ф. (в смысле Вейерштрасса), порожденную элементом W₀; объединение их кругов сходимости представляет собой (вейерштрассову) область существования этой функции. Из теоремы единственности А. ф. следует, что А. ф. в смысле Вейерштрасса полностью определяется заданием элемента W₀ При этом в качестве исходного может быть взят любой др. элемент, принадлежащий этой функции; полная А. ф. от этого не изменится.
Полная А. ф. f, рассматриваемая как функция точек плоскости, принадлежащих её области существования D, вообще говоря, является многозначной. Чтобы избавиться от многозначности, функцию f рассматривают не как функцию точек плоской области D, а как функцию точек некоторой (лежащей над областью D) многолистной поверхности R такой, что каждой точке области D соответствует столько (проектирующихся в неё) точек поверхности R, сколько различных значений принимает функция f в этой точке: на поверхности R функция f становится однозначной функцией. Идея перехода к таким поверхностям принадлежит Б. Риману, а сами они называются римановы поверхности. Схематическое изображение римановых поверхностей функций ?приведены на рис. 1 и 2 (соответственно). Абстрактное определение понятия римановой поверхности позволило заменить теорию многозначных А. ф. теорией однозначных А. ф. на римановых поверхностях.
Фиксируем область D, принадлежащую области существования D полной А. ф. f, и какой-либо элемент W функции f с центром в точке области D. Совокупность всех элементов, которые могут быть получены аналитичным продолжением элемента W посредством цепочек, центры которых принадлежат D, называется ветвью А. ф. f . Ветвь многозначной А. ф. может оказаться однозначной А. ф. в области D. Так, например, произвольные ветви функций ?соответствующие любой односвязной области, не содержащей точку O, являются однозначными функциями; при этом ??имеет ровно n, a Lnz - бесконечное множество различных ветвей в каждой такой области. Выделение однозначных ветвей (с помощью тех или иных разрезов области существования) и их изучение средствами теории однозначных А. ф. являются одним из основных приёмов исследования конкретных многозначных А. ф.
Понятие А. ф. нескольких переменных вводится с помощью кратных степенных рядов - совершенно аналогично тому, как это было сделано выше для А. ф. одного переменного. А. ф. нескольких комплексных переменных по своим свойствам также во многом аналогичны А. ф. одного комплексного переменного; однако они обладают и рядом принципиально новых свойств, не имеющих аналогов в теории А. ф. одного переменного. Более общим является понятие А. ф. на комплексных многообразиях (понятие комплексного многообразия является обобщением понятия римановой поверхности для многомерного случая).
Лит.: Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М.-Л., 1969; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68; Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; Евграфов М. А., Аналитические функции, 2 изд., М., 1968; Свешников А. Г., Тихонов А. Н., Теория функций комплексной переменной, М., 1967; Фукс Б. А., Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 2 изд., М., 1963; Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; Маркушевич А. И., Очерки по истории теории аналитических функций, М.- Л., 1951; Математика в СССР за тридцать лет, 1917 - 1947, М.- Л., 1948, с. 319-414; Математика в СССР за сорок лет, 1917 - 1957, т. 1, М., 1959, с. 381-510.
? А. А. Гончар.