Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х ("арксинус x") - функция, обратная sin х; 2) Arc cos x ("арккосинус x") - функция, обратная cos х; 3) Arc tg x ("арктангенс x") - функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x ("арккотангенс x") - функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x ("арксеканс x") - функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x ("арккосеканс x") - функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х - для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:-для |х| ³ 1; две последние функции малоупотребительны.

Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой - p/2 £ arc sin х £ p/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 £ arc cos х £ p, - p/2 < arc tg x < p/2, 0 <arc ctg x < p. На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у = Arc ctg x; главные Arc cos x = = arc cos x +2pn,ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например n = 0, =1, =2, .  

Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы

вытекает, что
Производные О. т. ф. имеют вид О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например
эти ряды сходятся для -1 £ x £ 1.
О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например .? Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.