Ортогональные многочлены

Ортогональные многочлены, специальные системы многочленов {р_п (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через , а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,- через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

Многочлен р_п (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

где g_n =n [(a₁ + (n + 1)b₂].

Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).
1) Якоби многочлены {Р_п ^(l,m)(х)} - при а = -1, b = 1 r(х) = (1-х)^l (1 + x)^m, l > -1, m > -1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m- ультрасферические многочлены ?(их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = -¹/₂, т. е. ?- Чебышева многочлены 1-го рода T_n (x); l = m = ¹/₂, т. е. ?- Чебышева многочлены 2-го рода U_n (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 - Лежандра многочлены Р_п (х).
2) Лагерра многочлены L_n (x) - при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е^-х (их наз. также многочленами Чебышева - Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра ?- при .
3) Эрмита многочлены Н_n (х) - при а = -¥, b = + ¥ и ?(их называют также многочленами Чебышева - Эрмита).
О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р_n (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена р_n (х) лежит один нуль многочлена p_n+1 (х). Многочлен р_n (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига
где A_n - постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. , , ? связаны рекуррентным соотношением: ,
где а_п+2 и l_n+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если ,
то ;
Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла ?в непрерывную дробь с элементами вида х - a_n и числителями l_n-1. Знаменатели j_n (х)/р_n (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса r(х).
Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию.
Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.
? В. И. Битюцков.