Открытое множество

Открытое множество, точечное множество, не содержащее предельных точек дополнительного к нему множества (см. Множеств теория). Любая точка О. м. является внутренней, т. е. имеет окрестность, содержащуюся целиком в О. м. Наряду с замкнутыми множествами О. м. играют важную роль в теории функций, топологии и др. отделах математики. Всякое (не пустое) О. м. на прямой является интервалом или суммой не более чем счётного числа интервалов.

О. м. можно рассматривать в евклидовом пространстве любого числа измерений, а также в произвольном метрическом пространстве или топологическом пространстве. Пересечение конечного числа и сумма любого числа О. м. являются О. м. Связные О. м. называются областями. Любое топологическое пространство может быть определено заданием своих О. м. Если же топологическое пространство задано системой своих замкнутых множеств, то О. м. определяются в нём как множества, дополнительные к замкнутым.