Параметрическое возбуждение колебаний

Параметрическое возбуждение колебаний, возбуждение колебаний, наступающее в колебательной системе в результате периодических изменения величины какого-либо из "колебательных параметров" системы (т. е. параметров, от величины которых существенно зависят значения потенциальной и кинетической энергий и периоды собственных колебаний системы). П. в. к. может происходить в любой колебательной системе, как в механической, так и в электрической, например в колебательном контуре, образованном конденсатором и катушкой самоиндукции, при периодическом изменении ёмкости конденсатора или индуктивности катушки (см. также Параметрическое возбуждение и усиление электрических колебаний).

П. в. к. наступает в случаях, когда отношение w₀/w (угловой частоты w₀ одного из собственных колебаний системы к угловой частоте w изменений параметра) оказывается близким к ⁿ/₂, где n = 1,2,3,...; тогда в системе могут возбудиться колебания с частотой, близкой к w₀ и точно равной ^w/₂, либо w, либо 3w/2 и т.д. П. в. к. наступает легче всего, а возникшие колебания оказываются наиболее интенсивными, когда w₀/w" ¹/₂.

Классический пример П. в. к.- возбуждение интенсивных поперечных колебаний в струне, прикрепленной одним концом к ножке камертона (рис. 1, а) путём периодического изменения её натяжения. Легче всего П. в. к. возникает, когда один из периодов собственных колебаний струны (её основного тона или какого-либо из гармоник) приблизительно вдвое больше периода колебаний камертона. При обычном же возбуждении вынужденных колебаний струны (рис. 1, б) с периодом, равным периоду колебаний камертона, резонанс наступил бы всякий раз, когда период колебаний камертона совпадал бы с периодом одного из собственных колебаний струны. Т. о., явление П. в. к. в этом отношении сходно с резонансом при обычном возбуждении вынужденных колебаний; поэтому П. в. к. часто называется параметрическим резонансом.

Происхождение П. в. к. можно пояснить на модели маятника, выполненного в виде массы т, подвешенной на нити, длину которой l можно менять (рис. 2, а). Т. к. период колебаний маятника зависит от длины подвеса, то, меняя последнюю с периодом, например, вдвое меньшим периода собственных колебаний маятника, возможно П. в. к. Сообщив маятнику небольшие собственные колебания, удлиняем нить каждый раз, когда маятник проходит через одно из крайних положений, и уменьшаем её, когда он проходит через среднее положение в том или другом направлении (рис. 2, б). Натяжение нити не только уравновешивает направленную вдоль неё составляющую силы тяжести mg cos a (где a- угол отклонения маятника от вертикали), но и сообщает телу центростремительное ускорение v²/l, поэтому натяжение нити F = mg cos a + mv²/2, т. е. имеет наименьшее значение, когда маятник проходит через каждое из крайних положений (где v = 0, а a ¹0). При уменьшении длины нити в среднем положении внешняя сила Ф совершает большую работу, чем та отрицательная работа, которая совершается при увеличении её в крайних положениях. В результате за каждый период колебаний внешняя сила совершает положительную работу, и если эта работа превосходит потери энергии колебаний в системе за период, то энергия колебаний маятника, а значит, и амплитуда этих колебаний будут возрастать. Поэтому начальные собственные колебания, которые были сообщены маятнику, могут иметь сколь угодно малую амплитуду; в частности, это могут быть те флуктуационные колебания, которые неизбежно происходят во всякой колебательной системе вследствие воздействия на неё различных случайных факторов и имеют сплошной спектр со всевозможными фазами гармонических составляющих. Следовательно, независимо от того, в какой фазе происходят периодические изменения длины подвеса, всегда найдутся такие малые собственные колебания маятника, для которых эти изменения происходят в нужной фазе, вследствие чего амплитуда именно этих собственных колебаний будет возрастать.
При П. в. к. состояние равновесия в результате периодического воздействия на какой-либо параметр становится неустойчивым и система начинает совершать нарастающие колебания около положения равновесия. Однако нарастание колебаний не происходит беспредельно, т. к., когда амплитуда и скорости колебаний достигают больших значений, колебательная система начинает вести себя как нелинейная система и нарастание колебаний прекращается.
Области, в которых состояние равновесия неустойчиво и происходит П. в. к., как уже указывалось, лежат вблизи значений w₀/w = ^1/₂, 1, ³/₂,... (рис. 3) и зависят от относительной амплитуды изменений параметра a. Чем больше эта амплитуда, тем шире область, т. е. тем при большем отличии w₀/w от ¹/₂, 1 и т.д. всё ещё наблюдается П. в. к. Вне областей неустойчивости П. в. к. не наступает и колебания в системе отсутствуют (в отличие от "обычного" возбуждения вынужденных колебаний, когда и вдали от резонанса слабые вынужденные колебания всё же возникают). Вблизи значений w₀/w= ¹/₂, 1, ³/₂,... П. в. к. наступает, как видно из рис. 3, при сколь угодно малых амплитудах изменений параметра. Это - следствие того, что мы пренебрегли потерями энергии, всегда существующими в реальной колебательной системе. Если учесть потери энергии, то области, в которых состояние равновесия неустойчиво (пунктир на рис. 3), уменьшаются. Как и следовало ожидать, при наличии потерь неустойчивость даже в отсутствие расстройки наступает только при достаточно большой амплитуде изменений параметра, когда вклад энергии от периодического изменения параметра превосходит потери. Т. о., вследствие потерь энергии, для П. в. к. всегда существует порог. В системах с большими потерями этот порог поднимается выше предела возможных изменений параметра сначала для более высоких отношений w₀/w, а затем и для w₀/w= ¹/₂, т. е. явление П. в. к. вообще не может возникнуть.
Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959, гл. Ill, ї9; Мандельштам Л. И., Полн. собр. трудов, т. 4, М., 1955 (Лекции по колебаниям, ч. 1, лекции 18-19).
С. М. Хайкин.