Положительная логика

Положительная логика, логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение "А - ложно" есть лишь иная форма выражения "не-А", в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств, в том числе доказательств от противного, а также явные определения отрицания типа ù А = _dfA (f, где ù - знак отрицания, É - импликация, а f - пропозициональная переменная или какое-либо "допустимое" абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.

Логические законы, соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях, из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией - импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией.

Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика)задаётся с помощью двух аксиомных схем:

1. А É(В É A),
2. (A É (В É С))É((А É В)É(А É C)
и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний - добавлением к схемам (1) и (2) следующих:
3. (А & В)É А,
4. (A & В)É В,
5. А É(В É(A & В)),
6. (A É С)É((B É С)É((А Ú В)É C)),
7. А É(A ÚB),
8. В É (A Ú B)
и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А É В) & (В É А). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы
9. (А É В) É ((А Éù В)É ù А)
или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний - минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему
10. ù А É(А É В)
(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему
11. ù А (А
(исключенного третьего принцип), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.
Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы - вообще как "частичные системы". Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые "сами по себе", и "те же" исчисления "внутри" более сильной логики - это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, ї 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, її 2-6.
? М. М. Новосёлов.