Положительно-определённая форма

Положительно-определённая форма, выражение вида a_ikx_ix_k,

где a_ik = a_ki, принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x₁, х₂,..., x_n и обращающееся в нуль лишь при x₁ = х₂ =... = x_n = 0. Т. о., П.-о. ф. есть квадратичная форма специального типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования к виду x²_i

Для того чтобы a_ikx_ix_k

была П.-о. ф. необходимо и достаточно, чтобы D₁ > 0, ., D_n > 0, где
В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма ,
(где ?- число, комплексно сопряжённое с x_k, см. Комплексные числа) такая, что a_ik = ?и f ³ 0 для всех значений x₁, х₂,..., x_n и f =0 лишь при x₁ = х₂ =...= x_n = 0, называется эрмитовой П.- о. ф.
С понятием П.-о. ф. связаны также понятия: 1) положительно-определённой матрицы ||a_ik|| - такой матрицы, что a_ikx_ix_k
есть эрмитова П.-о. ф.;
2) положительно-определённого ядра - такой функции К (х, у) = , что
для любой функции x(х)с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции - такой функции f (x), что ядро К (х, у)= f (x - y) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f (x) c f (0)=1 совпадает с классом характеристических функций законов распределения случайных величин.