Полная система функций

Полная система функций, такая система функций Ф = {j(x:)}, определённых на отрезке [a, b], что не существует функции f (x), для которой, ?и которая была бы ортогональна ко всем функциям j(х) из Ф, т. е. для которой

при любой функции j(х) из Ф (интегралы понимаются в смысле Лебега, см. Интеграл). Система функций может быть полной на одном отрезке и не быть полной на другом. Например, 1, sinx, cos х,..., sinnx, cosnx,... образуют П. с. ф. на отрезке [0, 2p], но не образуют П. с. ф. на отрезке [-2p, 2p]; последнее вытекает из того, что

для любой функции j(x) рассматриваемой системы. Для того чтобы система функций с интегрируемым квадратом была П. с. ф., необходимо и достаточно, чтобы любую функцию с интегрируемым квадратом на отрезке [а, b] можно было с любой степенью точности приблизить в среднем линейными комбинациями функций из этой системы. См. Ортогональная система функций.