Производящая функция

Производящая функцияпоследовательности f₀, f₁..., f_n... функция

(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t ¹ 0). П. ф. называют также генератрисой. Последовательность f₀, f₁..., f_n... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае П. ф. зависит не только от t, но и от аргументов функций f_n. Например, если f_n = aqⁿ где а и q - постоянные, то П. ф.

если f_n - Фибоначчи числа; f₀ = 0, f₁ = 1, f_n+2= f_n+1+ f_n, то П. ф.

если f_n = Т _n(х) - Чебышева многочлены: T₀(х)= 1, T_n (х)= cos (n arc cos x), то П. ф.
и т.д. Знание П. ф. последовательности часто облегчает изучение свойств последней. П. ф. применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод П. ф. был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.
Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949.