Приближённое решение
Приближённое решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.
П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.
Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0)= y0, причём известно, что f (x, у) - аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда: y (x) - y (x0)= .
Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам: A1 = y?0 = f (x0, y0);
либо с помощью неопределенных коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х - х0.
Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.
К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
Поясним эти методы на примере уравнения y??= f (x, у)
с начальным условием у (х0)= y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х - х0 Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.
Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x1, x2,..., xn некоторого фиксированного отрезка [х0, b] Так, для того чтобы вычислить у (х1), где х1 = х0 + h, h =(b - x0)/n, представляют у (х1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х1 - х0. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы: ,
Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком - звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.
В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге: ,
где ; ; ;
дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5.
В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), hiи разностей Dihj, где hj = hf (xj, yj); Dhj = hj+1 - hj; Dihj = Di-1hj+1 - Di-1hj.
Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая "разности" 3-го порядка:
даёт решение у (х) в точке xk с точностью до величин порядка h4.
Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения Формула k = 2 k = 3 k = 4 (1 + x)3 " 1 + 3x 0,04 0,012 0,004 0,06 0,022 0,007 0,19 0,062 0,020 0,20 0,065 0,021 0,31 (17?48') 0,144 (8?15') 0,067 (3?50') 0,10 (5?43') 0,031 (l'48') 0,010 (0?34') 0,25 (14?8') 0,112 (6?25') 0,053 (3?2') 0,14 0,47 0,015 0,04 0,014 0,004 0,25 0,119 0,055
формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:
особенно удобную для решения уравнений вида у'' = f (x, у). По этой формуле находят D2yn-1, а затем yn+1 = yn +Dyn+1 + D2yn-1. Найдя yn+1, вычисляют y??n+1 = f (xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.
Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.