Пуассоновский процесс
Пуассоновский процесс, случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 < t1 <...< tn <...<... каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.
Пусть m(s, t) - число событий, моменты наступления которых ti удовлетворяют неравенствам 0 £ s < ti £ t, и пусть l(s, t) - математическое ожидание m(s, t). Тогда и П. п. при любых 0 £ s1 < t1£ s2< t2 £... £ sr < tr случайные величины m(s1, t1), m(s2, t2),... m(sr, tr) независимы и вероятность того, что m(s, t) = n, равна e-l(s, t) [l(s, t)] n /n!.
? В однородном П. п. l(s, t)= a (t - s), где а - среднее число событий в единицу времени, расстояния tn - tn-1между соседними моментами tn независимы и имеют показательное распределение с плотностью ae-at, t ³ 0.
Если имеется много независимых процессов, описывающих моменты возникновения некоторых случайных редких событий, то суммарный процесс при определённых условиях в пределе даёт П. п.
П. п. представляет собой удобную математическую модель, которая часто используется в различных приложениях теории вероятностей. В частности, с помощью П. п. описывается поток требований (например, вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов медицинских машин скорой помощи при транспортных происшествиях в большом городе) в массового обслуживания теории.
Обобщением П. п. является пуассоновское случайное распределение точек на плоскости или в пространстве, при котором число точек в любой фиксированной области имеет распределение Пуассона (со средним, пропорциональным площади или объёму области) и числа точек в непересекающихся областях независимы. Это распределение часто используется при расчётах в астрономии, физике, экологии, технике и т.д.
Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, М., 1967.
? Б. А. Севастьянов.