Пфаффа уравнения
Пфаффа уравнения, уравнения вида X1dx1 + X2dx2 + ... + Xndxn =0,??? ?(1)
где X1, X2, ..., Xn - заданные функции независимых переменных x1, x2, ..., xn. Изучались И. Ф. Пфаффом (1814-15). Решение уравнения (1) состоит из соотношений ???? (2)
таких, что уравнение (1) является следствием их и соотношений df1= 0, df2 = 0, ..., dfm = 0. Соотношения (2) определяют интегральное многообразие П. у. (1). Если через каждую точку n-мерного пространства x1, x2, ..., xn проходит (n - 1)-мерная интегральная гиперповерхность, т. е. если уравнение (1) интегрируется одним соотношением, содержащим одну произвольную постоянную, то оно называется вполне интегрируемым.
В случае трёх независимых переменных х, у, z П. у. может быть записано в виде Pdx + Qdy + Rdz =0,???? (1?)
где Р = Р (х, у, z), Q = Q (х, у, z), R = R (х, у, z). Геометрически решение уравнения (1?) означает нахождение кривых в пространстве х, у, z, ортогональных в каждой своей точке векторному полю {Р, Q, R}, т. е. таких кривых, нормальная плоскость к которым в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными кривыми уравнения (1?). Если задать одно соотношение Ф (х, у, z) = 0 произвольно, т. е. искать интегральные кривые на произвольной гладкой поверхности, то из уравнения (1?) и соотношения
находятся, например, dy/dx и dz/dx как функции х, у, z, и задача сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решая ее, находят двупараметрическое семейство кривых, из которого выделяют однопараметрическое семейство интегральных кривых уравнения (1'), лежащих на заданной поверхности Ф (х, у, z) = 0. Это семейство интегральных кривых может рассматриваться как пересечение заданной поверхности и однопараметрического семейства поверхностей Ф1(х, у, z, с) =0,т. е. общее решение П. у. (1') состоит из двух соотношений Ф (х, у, z)= 0 и Ф1(х, у, z, с) =0, из которых первое произвольно, а второе определяется по первому. П. у. (1') интегрируется одним соотношением F (х, у, z, с) = 0, т. е. является вполне интегрируемым, если выполняется условие интегрируемости
тождественно относительно х, у, z. Геометрически это значит, что существует однопараметрическое семейство интегральных поверхностей П. у. (1?), ортогональных в каждой точке векторному полю {Р, Q, R}.Любая кривая на интегральной поверхности является интегральной кривой П. у. (1?).
Теория П. у. обобщена на случай систем П. у., играющих особо важную роль в приложениях. П. у. и системы П. у. встречаются в механике неголономных систем, т.к. неголономные связи суть П. у. между виртуальными перемещениями, а также в термодинамике.
Лит.: Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. - Л. ,1947; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Goursat Е., Leçons sur le problème de Pfaff, P., 1922.