Ритца и Галёркина методы

Ритца и Галёркина методы, широко распространённые прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи, Вариационное исчисление).

Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан функционал V [y (x)] (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у (х), принимающую в точках x₀ и x_i заданные значения a = у (х₀) и b = у (х₁), на которой функционал V [y (x)] будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала V [y (x)] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у (х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида

с постоянными коэффициентами a_i, составленных из n первых функций некоторой выбранной системы j₁(x), j₂(х),..., j_п (х),... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций j₁(х) является требование, чтобы функции у_п (х) удовлетворяли условиям уп (х_о)=a и y_n (x₁) =a для всех значений параметров a_1. При таком выборе функций у_п (х) функционал V [y (x)] превращается в функцию Ф (а₁, a₂,..., a_n) коэффициентов a_i, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений ? .

Например, пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла
при условии y (0) = y (1) = 0. В качестве функций j_i (x) можно взять xⁱ (1 - х), тогда .
Если n = 2, то . Для определения коэффициентов a₁ и a₂ получаем после вычислений два уравнения ; .
Решением этих уравнений являются числа a₁ =71/369 и a₂ = ⁷/₄₁. Следовательно, . Полученное приближённое решение отличается от точного на величину порядка 0,001.
Найденное этим методом приближённое решение у_п (х) вариационной задачи при некоторых условиях, касающихся в основном полноты системы функций j_i (x), стремится к точному решению у (х), когда n ? ¥.
Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).
Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галёркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения L [u] = 0???? (1)
(L - некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям: u = 0.???? (2)
Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L [u] тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность) любой функции в области D. Приближённое решение уравнения (1) ищут в виде ,???? (3)
где y_i (x, y) (i = 1, 2,..., n) - линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций y₁(x, у), y₂(х, у),..., y_п (х, у),..., полной в данной области. Постоянные коэффициенты a_i выбирают так, чтобы функция L [u_n] была ортогональна в D первым n функциям системы y_i (x, y): ???? (4) .
Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона
при условии u = 0 на S. Выбирая систему функций y_i (x, y), ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов ai имеет вид: .
Функции y_i (x, y) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть w(x, y) - непрерывная функция, имеющая внутри области D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что w(x, y) > 0внутри D, w(x, y)= 0 на S. Тогда в качестве системы функций y_i (x, y) можно взять систему, составленную из произведений w(x, y)на различные степени х и y: , , , , ? Например, если границей области D является окружность S радиуса R с центром в начале координат, то можно положить w(x, y) = R² - x² - y².
Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа для решения уравнений вида Au - f = 0, где А - линейный оператор, определённый на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве H, u - искомый и f - заданный элементы пространства H.
Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем иногда именуется методом Бубнова - Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).
Лит.: Галёркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, "Вестник инженеров", 1915, т. 1, ? 19, с. 897-908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. - Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. - М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten", Göttingen, 1908; его же, Über еще neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.
? В. Г. Карманов.