Риккати уравнение

Риккати уравнение, обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка вида ,???? (*)

где а, b, а - постоянные. Это уравнение впервые исследовалось Я. Риккати (1724); отдельные частные случаи рассматривались раньше. Д. Бернулли установил (1724-25), что уравнение (*)интегрируется в элементарных функциях, если а = - 2 или а = - 4kl (2k - 1), где k - целое число. Как доказал Ж. Лиувилль (1841), при других значениях а решение уравнения (*) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций. Дифференциальное уравнение ,

где Р (х), Q (x), R (x) - непрерывные функции, называется общим Р. у. [в отличие от него уравнение (*) называется специальным Р. у.]. При Р (х) = 0 общее Р. у. является линейным дифференциальным уравнением, при R (x) = 0 - так называемым Бернулли уравнением, которые интегрируются в конечном виде. Изучены также другие случаи интегрируемости общего Р. у.

Лит.: Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 4 изд., М., 1971.