Сеток метод

Сеток метод, собирательное название группы приближённых методов решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными термин "С. м." используется в качестве синонима терминов "метод конечных разностей" и "разностный метод". С, м. - один из наиболее распространённых приближённых методов решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями. Широкое применение С. м. объясняется его большой универсальностью и сравнительной простотой реализации на ЭВМ.

Суть С. м. состоит в следующем: область непрерывного изменения аргументов, в которой ищется решение уравнения, дополненного, если необходимо, краевыми и начальными условиями, заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой; вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определяемые в узлах сетки и называемые сеточными функциями; производные, входящие в уравнение, краевые и начальные условия, аппроксимируются разностными отношениями; интегралы аппроксимируются квадратурными формулами; при этом исходное уравнение (задача) заменяется системой (линейных, если исходная задача была линейной) алгебраических уравнений (системой сеточных уравнений, а применительно к дифференциальным уравнениям - разностной схемой).

Если полученная таким образом система сеточных уравнений разрешима, по крайней мере, на достаточно мелкой сетке, т. е. сетке с густым расположением узлов, и её решение при неограниченном измельчании сетки приближается (сходится) к решению исходного уравнения (задачи), то полученное на любой фиксированной сетке решение и принимается за приближённое решение исходного уравнения (задачи).

Для одномерного теплопроводности уравнения
? , , , (1)
с начальным u (х, 0) = u₀(x) и краевым условиями u (0, t) = m₁(t), u (1, t) = m₂(t) [предполагается, что u₀(0) = m₁(0), u₀(1) = m₂(0)] на прямоугольной равномерной сетке с узлами (x_i = ih, t_j = jt), где i = 0, 1, 2,..., N, j = 0, 1, 2,..., h = 1/N и t > 0 - шаги сетки, наиболее часто используемая разностная схема выглядит так (схема с весами):
??(2)
где s- некоторый параметр. Для двумерного Пуассона уравнения
? , , , (3)
с однородными краевыми условиями u (0, у) = u (х, 0) = u (1, у) = u (х, 1) = 0 на прямоугольной равномерной сетке с узлами x_i1 = i₁h₁, y_i2 = i₂h₂, где i₁ = 0, 1,..., N₁, i₂ = 0, 1,..., N₂, h₁ = 1/N₁, h₂ = 1/N₂, наиболее употребительной является разностная схема:
?(4)
Для интегрального уравнения
,
,
на равномерной сетке с узлами x_i = ih, где i = 0, 1, 2,..., N, h = 1/N, простейшая система сеточных уравнении имеет вид:
,

Помимо указанных выше равномерных прямоугольных сеток, могут использоваться сетки более общего вида, например неравномерные, а для уравнения (3) и непрямоугольные. Сеточные уравнения на таких сетках выглядят более сложно. Если уравнение (3) решается в области, отличной от прямоугольника, то даже на равномерной прямоугольной сетке аппроксимация краевых условий становится менее очевидной.
При выборе той или иной сеточной аппроксимации большое значение имеет величина погрешности аппроксимации (п. а.). Так, для уравнений (2) п. а. есть величина O (t + h²) при любом s, O (t² + h²) при s = 0.5 и O (t² + h ⁴) при s = 0,5 - h²/12t. Для схемы (4) п. а. есть величина O (h₁² + h₂²). Наличие хорошей аппроксимации уравнений и краевых условий сеточными уравнениями ещё не гарантирует того, что решение системы сеточных уравнений будет в некотором смысле близко к решению исходной задачи. Нужно ещё, чтобы решение сеточных уравнений было устойчивым, т. е. непрерывно (равномерно непрерывно относительно выбора сетки) зависело от правой части и начальных и краевых данных. Только наличие хорошей аппроксимации и устойчивости гарантирует сходимость решений сеточных уравнений к решению исходного уравнения при неограниченном измельчании сетки. Отметим, что схема (2) устойчива при ; при s = 0 получается явная схема, устойчивая при условии .
Системы сеточных уравнений представляют собой системы линейных алгебраических уравнений. Порядок системы будет тем выше, чем мельче сетка. Но точность приближённого решения зависит от величины шагов сетки, и она тем больше, чем меньше шаги. Поэтому получающиеся алгебраические системы обычно имеют довольно высокий порядок.
Лит.: Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы, М., 1973.
? В. Б. Андреев, А. А. Самарский.