Симплекс

Симплекс (от лат. simplex - простой) (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр. Под двумерным С. понимают произвольный треугольник, а под одномерным - отрезок. Нульмерный С. есть просто одна точка.

n-мерный С. имеет n + 1 вершин, не принадлежащих ни к какому (n - 1)-мерному подпространству того евклидова пространства (с числом измерений n или больше), в котором лежит данный С. Обратно, всякие n + 1 точек евклидова n-мерного пространства R^m, m ³ n,не лежащие ни в каком подпространстве менее n измерений, однозначно определяют n-mepный С. с вершинами в заданных точках e₀, e₁,..., e_n, он может быть определён как выпуклое замыкание совокупности заданных n + 1 точек, т. е. как пересечение всех выпуклых тел пространства R^m, содержащих эти точки. Если в пространстве R^m дана система декартовых координат x₁, х₂,..., х_т, в которой вершина e_i, i = 0, 1,..., n, имеет координаты x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,..., x_m ⁽ⁱ⁾, то С. с вершинами e₀, e₁,..., e_m состоит из всех точек пространства, координаты которых имеют вид:

, k = 1,2,..., m, где m⁽⁰⁾, m⁽¹⁾,..., m⁽ⁿ⁾ - произвольные неотрицательные числа, дающие в сумме 1. По аналогии со случаем n £З можно сказать, что все точки С. с данными вершинами получаются, если в эти вершины поместить произвольные неотрицательные массы (из которых по крайней мере одна отлична от нуля) и взять центр тяжести этих масс (дополнительное требование, чтобы сумма всех масс равнялась 1, исключает лишь случай, когда все массы - нулевые).

Любые r + 1 вершин, 0 £ r £ n - 1, взятые из числа данных n + 1 вершин n-мерного С., определяют некоторый r-мерный С. - r-мерную грань данного С. Нульмерные грани С. суть его вершины, одномерные грани называются ребрами.
Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М. - Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. - Л., 1947, с. 23-31.