Синусоидальные спирали
Синусоидальные спирали, синус-спирали, кривые, уравнения которых в полярной системе координат имеют вид
, (*)
где n - рациональное число. Частными случаями С. с. являются окружность, прямая, равнобочная гипербола, лемниската, кардиоида, парабола (см. Линия)
(соответственно при n = 1, -1, -2, 2, , ). Логарифмическую спираль можно рассматривать как некоторый предельный случай С. с. при n = 0 [хотя уравнение (*) теряет при этом смысл], разделяющей С. с., лежащие в конечной части плоскости, от С. с., имеющих бесконечные ветви. Проекция центра кривизны любой точки С. с. на радиус-вектор этой точки делит его в отношении n: 1 (считая от полюса). При равномерном вращении радиус-вектора С. с. вокруг полюса касательная равномерно вращается вокруг точки касания. Поэтому С. с. называются также кривыми пропорционального изгиба. При натуральном n С. с. состоит из n лепестков, лежащих в углах
,
касаясь в начале координат сторон угла. Углы
,
не содержат точек С. с., отличных от начала координат. Если вписать в круг радиуса а.2-1/n правильный n-угольник P1, P2,..., Рп, то множество точек, произведение расстояний которых до точек P1, P2,..., Рп равно an/2, является С. с. Площадь одного лепестка С. с. равна
,
а периметр равен
где G(х) - гамма-функция. При натуральном n С. с. имеет n осей симметрии. Если n = 1/q, то кривая симметрична относительно полярной оси, причём каждая из половин кривой имеет вид спирали, начинающейся в точке r = а, j = p/2 и после оборота на угол qp/2 приходящей в полюс. С. с. при n = p/q является алгебраической кривой (см. Алгебраическая геометрия), обладающей р осями симметрии, наклоненными к вертикальной оси под углами 2pqk/p, 0 £ k < p. Изучение С. с. с отрицательными значениями п сводится к изучению С. с. с положительными п при помощи преобразования инверсии. С. с. применяются в некоторых вопросах механики, геодезии и др.