Характеристическое уравнение
Характеристическое уравнение в математике,
1) Х. у. матрицы - алгебраическое уравнение вида ;
определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А = ||aik||n1 вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х - характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так: ,
где S1 = a11 + a22 +... ann - т. н. след матрицы, S2 - сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида ?(i < k) и т.д., а Sn - определитель матрицы А. Корни Х. у. l1, l2,..., ln называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все lk действительны, у действительной кососимметричной матрицы все lk чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |lk| = 1.
Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. - вековое уравнение.
2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами a0ly (n) + a1y (n-1) +... + an-1y' + any = 0
- алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение a0ln + a1ln-1 +... + an-1 y' + any = 0.
К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = сеlх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений ?, ,
Х. у. записывается при помощи определителя
Х. у. матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.