Цилиндрические функции
Цилиндрические функции, весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения: ??? ?(1)
где n - произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:?
[где Г (z) - гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Ц. ф. первого рода порядка n. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:
Если n - целое отрицательное: n = - n, то Jn(x) определяется так: J-n (x) = (- 1) n Jn (x).
Ц. ф. порядка n = m? + 1/2, где m - целое число, сводится к элементарным функциям, например: ,
Функции Jn(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка 1/3 в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).
Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид y = C1Jn(x) + C2J-n(x),???? (2)
где C1 и C2 ?- постоянные. Если же n - целое, то Jn(x) и J-n(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):
При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде у = C1Jn(x) + C2Yn(x)
(как при целом, так и при нецелом n). В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента??
и
(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению
общее решение которого имеет вид y = C1ln(x) + C2Kn(x)
(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля) ,
а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением ber (x) + i bei (x) = I0(x ).
Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента: , , , ,
из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jn(x) и Yn(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно, ?и
Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.