Чебышева многочлены
Чебышева многочлены,
1) Ч. м. 1-го рода - специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:
В частности, Т0 = 1; T1 = х; T2 = 2x2 ¾1; T3 = 4x3 ¾ 3x; T4 = 8x4 ¾8x2 + 1. Ч. м. Tn (x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 - x2)¾1/2. Дифференциальное уравнение: (1 - x2) у" - ху + n2у = 0.
Рекуррентная формула: Tn+1(x) = 2xTn (х)- Tn¾1(x).
Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов Pn (ab)(x): .
2) Ч. м. 2-го рода Un (x) - ортогональная на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 -x2)1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением: (1 - x2) Un¾1(х) = xTn (х)¾ Tn+1(х).
? Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2-3, М.-Л., 1947-48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.