Шаровые функции

Шаровые функции, однородные функции u_n степени п от прямоугольных координат х, у, z, удовлетворяющие уравнению Лапласа:



Существуют 2n + 1 линейно-независимых однородных многочленов от х, у, z целой положительной степени n, являющихся Ш. ф.: их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени n. Так, например,

u_o= a, u₁ = ax + by + cz;
u₂ = a (x² - z²) + b (y² - z²) + cxy + dyz + ezx,
где a, b, с, d, e - произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш. ф. Если вместо прямоугольных координат х, у, z ввести сферические координаты r, q, j, то Ш. ф. выражаются через сферические функции Y_п (q,j) по формуле
u_n = rⁿ Y_n (q,j).
Каждой Ш. ф. u_n степени n соответствует Ш. ф. r ^¾2n¾1 степени - n-1.
Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями.
Лит. см. при статье сферические функции.