Эйлера уравнения
Эйлера уравнения,
1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.
Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид Ix + (Iz - Iy) wywz = Mx, Iy + (Ix -? Iz) wzwx = My, (1) Iz + (Iy - Ix) wxwy = Mz,
где Ix, Iy, Iz - моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, wх,wу,wz - проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx, My, Mz - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , , ? ?- проекции углового ускорения.
Кинематические Э. у. дают выражения wх,wу, wz через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид wx= sin q sinj + cosj, wу= sin q cosj - sinj, (2) wz= ?+ cos q.
Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.
2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u, u,w и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут: , , .
Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u,u,w, р,r, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера .
В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р) (или r - const, когда жидкость несжимаема).
Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.
Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, ї14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.
? С. М. Тарг.