Эйлерова характеристика

Эйлерова характеристика многогранника, число a_o-a₁ +a₂, где a_o - число вершин, a₁ - число рёбер и a₂- число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).

Э. х. произвольного комплекса есть число , где n - размерность комплекса, a_o - число его вершин, a₁ - число его рёбер, вообще a_k есть число входящих в комплекс k-мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна ?(формула Эйлера-Пуанкаре), где p_k есть k-мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология). Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).

Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.