Эрмита многочлены
Эрмита многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2,... Э. м. Hn (x) могут быть определены формулой: .
В частности, Ho = 1, H1 = 2х. H2 = 4x2 - 2, H3 = 8x3 - 12x, H4 = 16х4 - 48х2 + 12. Э. м. ортогональны на всей оси Ox относительно веса е-х (ортогональные многочлены). Дифференциальное уравнение для у = Hn (x). y'' - 2ху' + 2ny = 0;
рекуррентные формулы: Hn+1 (х) - 2xHn (x) + 2nHn-1 (х) = 0, .
Иногда за Hn принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от n, а иногда в качестве веса берут . Основные свойства этой системы были изучены П. Л. Чебышевым (1859) и Ш. Эрмитом (1864).