Бесконечное произведение

Бесконечное произведение, произведение бесконечного числа сомножителей u₁, u₂,..., u_n,..., т. е. выражение вида

Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений pn = u₁ u₂... u_n

при n ? ¥, то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р - его значением, и пишут:

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:
а английский математик Дж. Валлис (17 в.) - формулу:
Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:
Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.
Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы u_n ¹ 0 для всех номеров n, чтобы u_N > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд
Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.- Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.